Download e-book for iPad: Grundlagen der Funktionentheorie: Lehrbuch für Mathematiker, by Wolfgang Tutschke

By Wolfgang Tutschke

ISBN-10: 3322979334

ISBN-13: 9783322979339

ISBN-10: 3322984818

ISBN-13: 9783322984814

Dieses Buch stellt eine Einfuhrung in die (komplexe) Funktionentheorie dar. Die Funktionentheorie ist eine nach den verschiedensten Richtungen sehr weit entwickelte mathematische Theorie, deren Grundlage die Theorie der komplexen Differentiation ist. Einer der wichtigsten Satze der Funktionentheorie ist der Cauchysche Integralsatz. Er besagt, dass das komplexe Kurvenintegral einer komplexwertigen Funktion 1 (z) uber eine geschlossene Kurve gleich Null ist, wenn I(z) in jedem Punkt ihres Definitionsgebietes im komplexen Sinne differen zierbar ist. Allerdings gilt diese Aussage nur, wenn uber die Struktur des Defini tionsgebietes bestimmte Voraussetzungen gemacht werden. Hierin zeigt sich die enge Verbindung von Funktionentheorie und Topologie der Ebene. Diesen Zusammenhang kann guy verwenden, um die Funktionentheorie gleich von Anfang an durch Heranziehung topologischer Aussagen aufzubauen. Ein sol cher Satz, der an die Spitze der Funktionentheorie gestellt werden kann, ist der Jordansche Kurvensatz. Seine Verwendung ist fur die Funktionentheorie ausserst bequem, da in den Begriff des einfach zus mmenhangenden Gebietes, zu dessen Definition guy die Aussage de'> Jordanschen Kurvensatzes benotigt, sozusagen alle topologischen Schwierigkeiten hineingesteckt werden. Ein Nach teil dieser Ansatze ist, dass manche Analogien zur reellen research, die erhalten bleiben konnten, verlorengehen. SARS und ZYGMUND waren meines Wissens die ersten, die auf diesen Umstand hingewiesen und in ihrem Buch [56] die Funktionentheorie ohne Verwendung des Jordanschen Kurvensatz3s aufgebaut haben. Diese Idee wurde von L. AHLFoRs [1] erneut aufgegriffen. R. NEVAN LINNA und V. PAATERO gaben in [48] einen Aufbau der Funktionentheorie mit Hilfe von Elementardeformationen, wodurch unnotige topologische Schwierig keiten umgangen werd

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Nachdem Computeralgebra-Pakete wie Mathematica immer mehr Verbreitung finden, entsteht oft die Frage, welche mathematischen Probleme damit überhaupt angegangen werden können. Dieses Buch beschreibt die Mathematik, wie sie Studierende an Fachhochschulen oder Universitäten brauchen, an vielen Beispielen mit Hilfe von Mathematica.

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Die vorliegende Dissertation entstand wahrend meiner Tatig keit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fraunhofer - In stitut fur Produktionstechnik und Automatisierung (IPA) in Stuttgart. Herrn Professor Dr. -Ing. H. -J. Warnecke, dem Direktor des IPA und Leiter des Instituts fur Industrielle Fertigung und Fabrikbetrieb der Universitat Stuttgart, bin ich fur seine wohlwollende Unterstutzung und Forderung sowie fur die wertvollen Hinweise zu der Arbeit zu grossem Dank ver pflichtet.

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Entsprechendes gilt für die übrigen in (2) stehenden reellen Kurvenintegrale. Demzufolge ergibt sich für das komplexe Kurvenintegral b J f(z) dz = J [u(X(t), y(t») t=a l' d~~t) b + i· f t=a [u (x (t), y(t») - v(x(t), y(t») d~~t) d~~t)J dt + v (x (t), y(t») d~~t)J dt. y(t), so gilt (Hauptfall I der Differentiation komplexwertiger Funktionen, vgl. ) die Beziehung dz(t) _ dx(t) dt dt + ~.. dy(t) 1 dt,aso f(z(t») d~~t) = [u(x(t), y(t») d~~t) _ v (x (t), y(t») d~~t)J + i. [u(x(t), y(t») d~~t) + v (x (t), y(t») d~~t)J.

Rf. §L dC = rf. (Zl) C-~ dC + rf. I

Folgt hieraus: Die partiellen Ableitungen ev(x , Yo) o ------sy- und müssen existieren, und es muß dj (zo) dz . ---- ey sein. Damit hat man das Ergebnis: Ist j(z) in Zo differenzierbar, 80 existieren in (x o, Yo) die partiellen Ableitungen erster Ordnung von u(x, y) und v(x, y). Da man zwei verschiedene Darstellungen von f' (zo) erhalten hat, sieht man, daß zwischen den partiellen Ableitungen erster Ordnung von u(x, y) und v (x, y) in (x o, Yo) die folgenden Relationen bestehen müssen: ev (x , Yo) eu (xo, Yo) ex o ------sy- eu (xo, Yo) ey ev (xQi Yo) - -----ax- --- Beispiel.

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by Edward
4.1

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