Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)'s Funktionentheorie: Eine Einführung PDF

By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

ISBN-10: 3540615423

ISBN-13: 9783540615422

ISBN-10: 366207348X

ISBN-13: 9783662073483

Zur Grundausbildung in Mathematik geh?rt heute neben der Linearen Algebra, der Differential- und Integralrechnung und den Differentialgleichungen auch stets eine Einf?hrung in die Funktionentheorie, additionally in die Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Ver?nderlichen. Die vorliegende ?berarbeitete Auflage ist in Umfang und Schwierigkeitsgrad auf das Grundstudium ausgerichtet. Das Buch behandelt die wichtigsten Begriffe und S?tze, einschlie?lich des Residuenkalk?ls, bis hin zum Satz von Mittag-Leffler, zum Weierstra?schen Produktsatz und zum Riemannschen Abbildungssatz. Zahlreiche Figuren und ein nochmals erweitertes Angebot an kommentierten ?bungsaufgaben erleichtern das Durcharbeiten dieser pr?gnanten, kurzgefa?ten Einf?hrung.

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41. K; enthält auch die Mittelpunkte seiner Nachbarn J:lortsetzung längs der K-is.... kette. Vorausgesetzt, die analytische Fortsetzung eines holomorphen 10 längs einer gegebenen EI Kreiskette ist überhaupt möglich, dann ist sie nach dem Identitätssatz natürlich auch eindeutig bestimmt, und im Prinzip können wir sie konstruieren, indem wir sukzessive jeweils die Funktion /;-1 um den Mittelpunkt von Ki in eine Potenzreihe entwickeln, die dann also li darstellt. Wäre uns zum Beispiel die Information über eine auf einem Gebiet G holomorphe Funktion I beinahe ganz verlorengegangen, und nur auf einer kleinen Kreisscheibe in G kennten wir sie noch, so ließe sich daraus ganz I durch analytische Fortsetzung längs Kreisketten wieder herstellen.

2 Meromorphe Funktionen Ist eine Funktion j bis auf Pole holomorph in U, so heißt sie meromorph in U. Die Bezeichnung "meromorph" (=bruchförmig) kommt daher, daß die meromorphen Funktionen gerade diejenigen sind, die sich lokal als Quotienten holomorpher Funktionen darstellen lassen. Daß jede meromorphe Funktion lokal Quotient holomorpher Funktionen ist, geht direkt aus der Definition hervor: man kann sogar stets (z - zo)m bzw. 1 als Nenner wählen. Umgekehrt gilt für zwei auf einem Gebiet G holomorphe Funktionen 9 und h, wovon h nicht konstant Null ist, daß aus g(z)/h(z) durch Hebung aller hebbaren Singularitäten in G eine meromorphe Funktion entsteht.

Diese Menge ist nicht leer, weil sie t o enthält. Wegen der lokalen Verträglichkeit ist sie relativ offen in [to, t 1 1, aus demselben Grunde aber auch abgeschlossen, denn ist tein Häufungspunkt von M, so hat Pt - Pt ~ei -y(t) eine oe-fache Nullstelle, die beiden Potenzreihen Pt und Pt stimmen also überein. Da Intervalle zusammenhängend sind, 0 folgt nun M = [to, tl1, insbesondere Ptl = Ptl • Dieses Lemma berechtigt uns, von analytischer Fortsetzung längs des Weges zu sprechen, nämlich zu sagen, die holomorphe Funktion g bzw.

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Funktionentheorie: Eine Einführung by Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)


by George
4.2

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