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By Andreas Kriegl

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Als konstant in der N¨ ahe von 0 und 1 annehmen k¨onnen und somit die Isotopie zusammenst¨ uckeln k¨ onnen. Ein Kreis ist homotop in R2 aber nicht isotop so verformbar, daß sich seine Umlaufrichtung umdreht. Die folgende Zeichnung zeigt, daß die Regularit¨at dabei essentiell ist. Eine Sph¨ are hingegen l¨ aßt sich isotop so verformen, daß ihr Inneres nach außen gest¨ ulpt wird [76]. F¨ ur jede Konstante ρ > 0 ist c und ρ · c isotop verm¨oge H(t, s) := ρs c(t). F¨ ur jede eigentliche Bewegung B ist c und B ◦ c isotop, denn f¨ ur B(x) := Rϕ (x) + v sei Bs (x) := Rsϕ (x) + sv, dann ist H(t, s) := Bs (c(t)) eine Isotopie.

Dann ist p : R+ × ]ϕ0 − π, ϕ0 + π[ → C \ {teiϕ0 : t ≤ 0} ein Diffeomorphismus. Das Bild bzgl. p ist die (komplexe) Ebene ohne einen Halbstrahl. Wir k¨ onnen sogar explizit die Umkehrfunktion r = x2 + y 2 und ϕ = arctan( xy ) bzw. ϕ = arccot( xy ) angeben, wenn wir f¨ ur arctan und arccot den passenden Zweig w¨ ahlen. 6 Lemma (Kr¨ ummung als Richtungs¨ anderung). Sei c : I → C eine nach der Bogenl¨ ange parametrisierte Kurve mit c : I → S 1 := {z ∈ C : |z| = 1}. Sei s0 ∈ I und θ : I → R f¨ ur s nahe s0 eine differenzierbare L¨ osung von eiθ(s) = c (s).

Bei der folgenden Rechnung verwenden wir in dieser Reihenfolge: die Linearit¨at des inneren Produkts, die Dreiecksungleichung und die Ungleichung von Cauchy-Schwarz. 2π 2π |v|2 = v | v x v = 0 0 2π ≤ x|v = 2π 2π | x|v | ≤ 0 x · |v| = |v|2 . |x| · |v| = 0 0 Es gilt also Gleichheit und somit | x(τ ) | v | = |x(τ )| · |v|. e. x(τ ) = ρ(τ ) · v wobei ρ : [0, 2π] → R ist. Es folgt, daß H1 (t, s) f¨ ur laufendes t proportional zu einem fixen Vektor v ist. Da |H1 (t, s)| = 1, ist H1 (t, s) konstant bez¨ uglich t f¨ ur ein gewisses s.

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Differentialgeometrie by Andreas Kriegl

by Ronald

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