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By Carl Friedrich Gauß, Heinrich Simon

ISBN-10: 3662387409

ISBN-13: 9783662387405

ISBN-10: 3662396270

ISBN-13: 9783662396278

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Example text

I 3) 2 ) ( l+;j ( 1+ k1 ) ( 1 +k u. s. (4+ z) 33 Dritter Abschnitt. 20. Besondere Beachtung verdient der Grenzwert, gegen den für einen festen Wert von z die Function n (k, z) beständig convergirt, wenn k unendlich gross wird. ) z(l + z3) z(l - z4) 2(h+1)2+ 3(h + l)ä+ 4(h +1)4 + 5(h + 1)5 +· .. Wenn daher k aus dem Werte h in h + n übergeht, wird der Logarithmus von 0 (k, z) den Zuwachs erhalten: welcher, wie leicht zu beweisen, stets endlich bleibt, auch wenn n unendlich wird. Wenn also nicht schon II (h, z) einen unendlichen Factor enthält, d.

No -- und llO= 1, rr=(n(-~)r oder [52] [53] Formel XVI des Art. 5, welche dasselbe sagt wie die bekannte Gleichung . n(nn-1). smnt= nsint---~- smt3 + n(nn-I)(nn-9). 5 smt5 - •·· und allgemein für jeden Wert von n gilt, wenn nur t nicht die Grenzen - 90" und + 90° überschreitet, liefert für t = . rl(+ z)= - . sm zrr [55] 11(- z). _2 - (56] z) = coszrr _ rr Aus der Verbindung von Formel 54 mit der Definition der Function [1 folgt, dass ~ die Grenze des unendlichen Productes Sln Z1t (1 2 (1 - zz) (4 - zz) (9 - 3 .

4z ~ = ~, ~ = 3~ , @, = 1 4 2 u. s. w. die Berrwullischen Zahlen sind. Durch diese Reihe wird daher log He dargestellt; obgleich nämlich auf den ersten Blick dieser Schluss auf ganzzahlige Werte beschränkt zu sein scheint, so ergiebt sich doch bei näherer Betrachtung, dass die von }f}uler benutzte Entwickelung (Instit. Calc. Diff. Cap. Abnahme = logz ist. Die erstere Bedingung beruht auf ermittelt, wo 41 Dritter Abschnitt. der Stetigkeit der Function, hat also für negative Werte von z nicht statt, auf die jene Reihe mithin nicht ausgedehnt werden darf: die zweite Bedingung aber kommt der Function log llz allgemein zu, ohne Beschränkung anf ganzzahlige Werte von z.

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by Mark
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