Download e-book for kindle: Algebraische Geometrie: Eine Einführung by Markus Brodmann

By Markus Brodmann

ISBN-10: 3034892667

ISBN-13: 9783034892667

ISBN-10: 303489970X

ISBN-13: 9783034899703

Diese Einführung in die algebraische Geometrie richtet sich an Studierende mittlere und höhere Semester. Vorausgesetzt werden lediglich die im ersten Studienjahr erworbenen Grundkenntnisse. Ausgehend von den affinen Hyperflächen werden beliebige affine und schliesslich projektive Varietäten untersucht. Die benötigte Algebra wird dabei laufend entwickelt. Schwerpunkte des Buches sind die Dimensions- und Morphismentheorie, die Multiplizitätstheorie sowie der Gradbegriff. Zahlreiche Beispiele sollen dem Leser helfen, sich über die konkrete Bedeutung des Stoffes klarzuwerden.

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Die vorliegende Dissertation entstand wahrend meiner Tatig keit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fraunhofer - In stitut fur Produktionstechnik und Automatisierung (IPA) in Stuttgart. Herrn Professor Dr. -Ing. H. -J. Warnecke, dem Direktor des IPA und Leiter des Instituts fur Industrielle Fertigung und Fabrikbetrieb der Universitat Stuttgart, bin ich fur seine wohlwollende Unterstutzung und Forderung sowie fur die wertvollen Hinweise zu der Arbeit zu grossem Dank ver pflichtet.

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Dazu wahlen wir r> 0 und schneiden X mit der 3-Sphare S~ : = {(x]' x 2, YJ' Y2) I xi+xi+ yi+ y~=r}. Wir wollen uns nun ein Bild machen von urn einen Eindruck davon zu bekommen, wie X «in der Nahe der Singularitat 0)) in \R 4 liegt. Zunachst setzen wir S~={(xJ' xz, YJ, Yz) E S~ I xi+yi=FO}. S~ entsteht aus s~ durch Entfernen des Kreises {CO, x 2, 0, Y2) I x~+y~=r}. ,=S~ n x. Wir definieren nun eine stetige Abbildung r, : S~ -+ \R3 durch die Vorschrift 3. Vielfachheit und Singularitiiten 29 Urn diese Abbildung besser beschreiben zu konnen, setzen wir: p(P) = 1Z2 I; a(p) = arg (z,), P(P) = arg (Z2)' (0 ~ a(p), pep) < 2 n).

Zur Formulierung dieses Ergebnisses fuhren wir die folgende Sprechweise ein: Ein Polynom JE C[ZI, ... , zn]-{O} nennen wir quadratfrei, wenn es sich nicht schreiben lasst als J = h2 g mit Polynomen h, g E C[ZI, ... , zn] wobei Grad(h) > O. 5) Lemma (Lemma von Study): 1st JE C[Zj' ... , zn]-{O} quadratfrei und X = V (J), so lasst sich jedes Polynom gEl (X) schreiben als g=J h, (h E C[Zj' ... , znD. Beweis: Wird in Kapitel II gegeben. 6) Satz: IstJE C[Zj, ... , Ji p (X) = Ji p (J), zn]-{O} quadratfrei und X= V(J), so gilt (p EX).

14) Definition: SeifE C[z], ... , zn]-{O}, X= V(f) und L s; en eine Gerade. Wir definieren die Schnittvielfachheit von X mit L im Unendlichen durch o 11 00 (X . L) = min{l1oo(g· L) I g E /(X)-{O}}. 15) Definition: SeifE C[z], ... , zJ-{O}, X= V(f). Der Grad von X wird definiert durch o Grad (X) = min{Grad (g) I g E /(X)-{O}}. • zn]-{O} quadrat/rei. X= Vel). Dann gilt: (i) Grad (X) = Grad (f). (ii) 1100(X, L) = 1100(f· L), (L s; en Gerade). • zn] -{O}. X = V(l) und sei L Een eine Gerade. Dann gilt: (i) LEX ~ 1100(X, L) = (ii) L $ X=> l1oo(X, 00 L)+~ pEXnL l1iX.

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by George
4.1

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